摘 要
数域扩张是代数学中的核心课题，范数与迹作为其基本概念，在理论研究和实际应用中具有重要意义。本文以数域扩张为背景，系统探讨了范数与迹的性质及其在代数结构中的作用，旨在深化对数域扩张理论的理解并拓展其应用范围。通过引入新的代数工具和分析方法，本文证明了范数与迹在特定扩张下的分解特性，并揭示了它们与伽罗瓦群之间的内在联系。研究发现，范数与迹不仅能够反映扩张域的代数结构，还能用于刻画某些特殊多项式的性质。此外，本文提出了一种计算高次扩张中范数与迹的新算法，显著提高了计算效率。这一成果为数域扩张理论提供了新的视角，同时为密码学、编码理论等领域提供了理论支持。本文的主要贡献在于建立了范数与迹的统一框架，并通过具体实例验证了其有效性和实用性，为相关领域的进一步研究奠定了基础。关键词：数域扩张 范数与迹 伽罗瓦群
目 录
摘 要 I
第一章 绪论 1
1.1 数域扩张中范数与迹的研究背景 1
1.2 范数与迹性质研究的现状分析 1
第二章 范数与迹的基本理论 2
2.1 数域扩张中的范数定义与性质 2
2.2 迹的概念及其基本特性 2
2.3 范数与迹的关系探讨 3
第三章 范数与迹在代数结构中的应用 4
3.1 范数在多项式根分布中的作用 4
3.2 迹在矩阵表示中的体现 4
3.3 范数与迹在有限域上的特殊性质 5
第四章 范数与迹的高级性质研究 6
4.1 范数的乘法性及其证明 6
4.2 迹的加法性与线性变换 6
4.3 范数与迹在Galois理论中的意义 7
结 论 8
致 谢 9
参考文献 10
原创性声明 11
版权使用授权书 11
