摘 要
复变函数理论作为数学分析的重要分支，在科学与工程领域具有广泛的应用价值，其中留数理论是研究解析函数性质的核心工具之一。本文以留数理论为基础，探讨其在积分计算中的应用方法与实际意义，旨在通过系统化的理论推导和实例验证，揭示留数理论在处理复杂积分问题中的优越性。研究采用理论分析与数值计算相结合的方法，通过对典型积分类型的分类讨论，建立了基于留数定理的积分求解框架，并提出了一种改进的留数算法以应对多极点和高阶极点情形下的计算难题。结果表明，该方法能够显著提高积分计算的效率与准确性，尤其在涉及无穷积分和围道积分的问题中表现出独特优势。本文的主要贡献在于拓展了留数理论的应用范围，并为相关领域的科学研究提供了新的思路与技术支撑，同时为复杂积分问题的高效求解奠定了坚实的理论基础。关键词：留数理论 积分计算 复变函数
目 录
摘 要 I
第一章 绪论 1
1.1 复变函数留数理论的研究背景与意义 1
1.2 留数理论在积分中的应用研究现状 1
第二章 留数理论的基础概念与核心原理 2
2.1 留数的定义与计算方法 2
2.2 孤立奇点分类及其性质分析 2
2.3 留数定理的推导与证明 3
第三章 留数理论在实积分中的应用研究 4
3.1 有理函数无穷积分的求解方法 4
3.2 含三角函数的定积分计算分析 4
3.3 特殊类型积分的留数法应用 5
第四章 留数理论在复积分中的拓展应用 6
4.1 多连通区域上的复积分问题 6
4.2 分支点对留数计算的影响研究 6
4.3 非标准路径积分的留数处理方法 7
结 论 8
致 谢 9
参考文献 10
原创性声明 11
版权使用授权书 11
