摘 要
有限域上的多项式因式分解是代数学与计算数学的重要研究领域，广泛应用于密码学、编码理论及计算机科学等领域。本研究旨在探讨有限域上多项式的因式分解方法及其实际应用价值，通过结合经典算法与现代优化技术，提出了一种高效且通用的分解策略。研究基于Berlekamp算法和 Cantor-Zassenhaus算法的核心思想，引入了改进的随机化处理机制，显著提升了分解过程的计算效率。同时，针对高次多项式分解中的复杂性问题，提出了基于模运算的降阶方法，有效降低了算法的时间复杂度。实验结果表明，所提方法在多项式规模较大时展现出优越性能，尤其在素域及其扩张域上的分解任务中表现突出。本研究的主要贡献在于提供了一种适用于多种场景的高效分解方案，并验证了其在纠错码构造与公钥密码系统设计中的可行性，为相关领域的进一步发展奠定了理论基础。关键词：有限域 多项式因式分解 Berlekamp算法
目 录
摘 要 I
第一章 绪论 1
1.1 有限域上多项式因式分解的研究背景与意义 1
1.2 国内外研究现状与发展趋势分析 1
第二章 有限域上多项式的理论基础 2
2.1 有限域的基本概念与性质 2
2.2 多项式的定义与分类 2
2.3 因式分解的数学原理 3
第三章 有限域上多项式因式分解的方法研究 4
3.1 基于平方自由分解的算法设计 4
3.2 分圆多项式在因式分解中的应用 4
3.3 高效因式分解算法的优化策略 5
第四章 有限域上多项式因式分解的应用探索 6
4.1 在密码学中的具体应用实例 6
4.2 在编码理论中的关键作用分析 6
4.3 在计算机代数系统中的实现研究 7
结 论 8
致 谢 9
参考文献 10
原创性声明 11
版权使用授权书 11
