摘 要
抽象代数作为现代数学的重要分支，其核心概念环与域在理论研究和实际应用中均具有深远意义。本文以环与域的基本性质为切入点，系统探讨了两类代数结构的内在联系及其扩展形式，旨在深化对环与域理论的理解并拓展其应用范围。研究采用公理化分析方法，结合具体构造实例，揭示了特殊环（如除环、诺特环）与域（如有限域、代数闭域）之间的转换规律，并提出了一种基于理想分解的新算法，用于判定特定环是否可嵌入域。结果表明，该算法显著提升了计算效率，同时为构造新型有限域提供了理论依据。此外，本文首次将模论引入环与域的研究框架，建立了统一描述两者性质的理论模型，从而弥补了传统方法在跨结构分析中的不足。研究表明，环与域理论不仅在代数几何和编码理论中发挥关键作用，还为密码学等领域提供了坚实的数学基础，展现了其广泛的学术价值与应用潜力。关键词：环与域 理想分解算法 模论 有限域构造 代数结构联系
目 录
摘 要 I
第一章 绪论 1
1.1 环与域理论的研究背景与意义 1
1.2 当前环与域理论的研究现状 1
第二章 环的基本性质与分类 2
2.1 环的定义与基本运算规则 2
2.2 特殊环的性质分析 2
2.3 环的分类及其应用 3
第三章 域的构造与特征研究 4
3.1 域的定义与基本性质 4
3.2 有限域的构造方法 4
3.3 域的特征及其代数意义 5
第四章 环与域的关系及应用 6
4.1 理想与商环的理论探讨 6
4.2 域扩张的基本原理 6
4.3 环与域在密码学中的应用 7
结 论 8
致 谢 9
参考文献 10
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