摘 要：拓扑学作为数学的重要分支，其理论与方法在数据结构与算法设计中展现出独特价值。本研究基于现代计算科学的需求，探讨了拓扑学在复杂数据建模、高效算法设计及优化问题中的应用。通过引入拓扑不变量和同伦理论，提出了一种新型的数据结构表示方法，能够有效捕捉高维数据的几何与拓扑特征。同时，结合持久同调理论，设计了一系列适用于大规模数据集的快速近似算法，显著提升了计算效率。实验结果表明，该方法在处理非欧几里得空间中的数据时具有明显优势，尤其是在图像识别、网络分析及生物信息学领域表现突出。本研究的主要创新点在于将抽象的拓扑概念转化为具体的计算工具，并实现了理论与实践的深度融合，为解决复杂数据问题提供了新思路。这一成果不仅拓展了拓扑学的应用范围，也为数据科学的发展注入了新的动力。
关键词：拓扑学；数据建模；持久同调；算法设计；高维数据
Applications of Topology in Data Structure and Algorithm Design
英文人名
Directive teacher:×××
Abstract：Topology, as a significant branch of mathematics, demonstrates unique value in the realms of data structure and algorithm design through its theories and methodologies. This study investigates the applications of topology in complex data modeling, efficient algorithm design, and optimization problems, driven by the requirements of modern computational science. By incorporating topological invariants and homotopy theory, a novel data structure representation method is proposed, which effectively captures the geometric and topological characteristics of high-dimensional data. Furthermore, leveraging persistent homology theory, a series of fast approximation algorithms suitable for large-scale datasets are designed, leading to a substantial improvement in computational efficiency. Experimental results indicate that this approach exhibits distinct advantages when processing data within non-Euclidean spaces, particularly excelling in image recognition, network analysis, and bioinformatics. The primary innovation of this research lies in transforming abstract topological concepts into concrete computational tools, thereby achieving a deep integration of theory and practice and providing new insights into solving complex data problems. This achievement not only broadens the application scope of topology but also infuses fresh impetus into the development of data science.
Keywords: Topology；Data Modeling；Persistent Homology；Algorithm Design；High-Dimensional Data
目 录
引言 1
一、拓扑学基础与数据结构关联 1
(一)拓扑空间的基本概念 1
(二)数据结构的拓扑表示方法 2
(三)拓扑不变量在数据建模中的作用 2
二、拓扑学在图算法设计中的应用 3
(一)图的拓扑排序及其优化 3
(二)拓扑嵌入在图划分中的应用 3
(三)拓扑距离在最短路径问题中的意义 4
三、拓扑数据分析与算法设计 4
(一)持久同调在数据聚类中的应用 4
(二)拓扑特征提取与降维算法设计 5
(三)拓扑简化在大数据处理中的策略 5
四、高级拓扑方法与复杂算法设计 6
(一)离散莫尔斯理论在网格优化中的应用 6
(二)拓扑约束在动态规划中的体现 6
(三)拓扑优化在并行计算中的实现 7
结论 7
参考文献 9
致谢 9
